Bonsoir , j ai des difficultés avec cet exercice.Pourriez vous m aider , s il vous plaît? Merci d avance

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape

Le fond de la boîte est un triangle équilatéral de côté 60-2x et de hauteur [(60-2x)*rac3 ]/2

l'aire du fond est donc (60-2x)²*(rac3)/4

Pour déterminer la hauteur de la boîte h=x*tan30°=x/rac3

le volume de la boîte est donc V(x)=x(60-2x)²/4=x(30-x)²

V(x)=x(900-60x+x²)=x³-60x²+900x

Il reste à étudier cette fonction sur [0;30]

V'(x)=3x²-120x+900

v'(x)=0  si x²-40x+300=0

delta=1600-1200=400

V'(x)=0 pour x=(40-20)/2 =10 et x=(40+20)/2=30

Tableau de signes de V'(x) et de variations de V(x)

x    0                                 10                                 30

V'(x).................+....................0......................-...................

V(x)  0.........croi...................V(10)........décroi................0

Le volume de la boîte est max pour x=10

V(10)=1000-6000+9000=4000cm³ soit 4 litres.

Vérification

si x=10 Aire base=(40*40rac3 )/4=400rac3

et h=10/rac3 donc V=4000cm³

bjr

1) calcul de DM hauteur de la boîte

la droite AD est bissectrice de l'angle A. angle DAM = 30°

triangle rectangle DAM : tan 30° = DM / AM

                                         tan 30° = DM/x

                                           x = DM / √3

2) aire du triangle FDE

• DE = 60 - 2x

la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a vaut a√3/2

Dans le triangle FDE

•  hauteur relative au côté DE  :  (60 - 2x)*√3/2

• aire triangle : base * hauteur /2

A(x) = [(60 - 2x)(60 - 2x)*√3/2] / 2

A(x) = 2(30 - x)*2(30 - x) * √3/4

A(x) = (30 - x)² * x

3) volume de la boîte  (aire base * hauteur)

V(x) = (900 - 60x + x²)x

V(x) = x³ -60x² + 900x

4)

pour trouver la valeur maximum il faut dériver

V'(x) = 3x² - 120x + 900

et cherche les valeurs qui annulent la dérivée

on calcule le discriminant, on trouve

Δ = 3600 = 60²

il y a deux racines 10 et 30

on élimine 30

il reste 10