Bonjour, On considère l’équation différentielle : (E): y′ + 2y = 2x² + 1 . 1) Montrer que la fonction p définie sur R par : p(x) = x² − x + 1 est solution de l’

Réponse :

Salut,

Explications étape par étape

notation : a²=a^2

1) p(x)=x^2-x+1

la dérivée de p(x) est p'(x)=2x-1

si p(x) est solution de (E) alors

y'+2y=p'(x)+2p(X) => y'+2y= (2x-1)+2(x^2-x+1)= 2x-1+2x^2-2x+2

y'+2y= 2x^2+1

donc  la fonction p définie sur R par p(x) = x² − x + 1 est solution de l’équation différentielle (E).

2) a)

g(x)=f(x)-p(x) et (F): y'+2y=0

g'(x)=f'(x)-p'(x)

p(x) solution de (E) alors p'(x)+2p(x)=2x^2+1

f(x) solution de (E) alors f'(x)+2f(x)=2x^2+1

donc  f'(x)+2f(x)=p'(x)+2p(x)

alors  [f'(x)+2f(x)]-[p'(x)+2p(x)]=0

f'(x)-p'(x)+2[f(x)-p(x)]=0

on remplace par g(x)

g'(x)+2g(x)=0 soit y'+2y=0

donc le fonction g définie sur R par g(x) = f(x) − p(x) est solution de l’équation différentielle (F): y′ + 2y = 0 .

b) f(x)=g(x)+p(x)

f'(x)=g'(x)+p'(x)

g une solution sur R de l'équation différentielle (F) :y'+2y=0

soit g'(x)+2g(x)=0 => f'(x)-p'(x)+2[f(x)-p(x)]=0

=>  [f'(x)+2f(x)]-[p'(x)+2p(x)]=0 => f'(x)+2f(x)=p'(x)+2p(x)

p(x) est solution de (E) donc p'(x)+2p(x)=2x^2+1

d'où  f'(x)+2f(x)=2x^2+1 donc la fonction f définie sur R par f(x) = g(x) + p(x) est solution de (E).

3) (F) : y'+2y=0

La solution générale de cette équation sur R est :

y= k [tex]e^{-2x}[/tex] avec  k un réel quelconque.

4)

g(x)=f(x)-p(x)=y et p(x)=x^2-x+1

f(x)-p(x) = k [tex]e^{-2x}[/tex] => f(x)= k  [tex]e^{-2x}[/tex]+p(x) => f(x)=  k[tex]e^{-2x}[/tex]+x^2-x+1

5) f(2)=6 => f(2)= k [tex]e^{-4}[/tex]+4-2+1= k [tex]e^{-4}[/tex]+3=6 => k [tex]e^{-4}[/tex]=3 => k=3[tex]e^{4}[/tex]

soit f(x)=3[tex]e^{4}[/tex] [tex]e^{-2x}[/tex] +x^2-x+1 solution de (E)