Bonjour, je voudrais un peu d’aide sur ces exercices, j’ai des grosses lacunes en maths donc merci d’être compréhensif ! C’est un dm que je dois rendre mercredi

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Partie  A :

1)

1000=1 millier

U(1)=12

U(2)=15

15/12=1.25

Donc :

U(2)=U(1) x 1.25

Ou :

U(n+1)=U(n) x 1.25 : suite géométrique de raison q=1.5 et de 1er terme U(1)=12.

2)

On sait alors que :

U(n)=U(1) x q^(n1) soit :

U(n)=12 x 1.25^(n-1)

3)

U(8)=12 x 1.25^7 ≈ 57 s

4)

On résout :

12 x 1.25^(n-1) ≥ 90

1.25^(n-1) ≥ 72

(n-1)ln1.25 ≥ ln72

n-1 ≥ ln72/ln1.25

n ≥ (ln72/ln1.25) +1

Soit n ≥ 3430 personnes.

Partie B :

1)

f(x)=10x-8ln(x)

f '(x)=10 -8/x

f '(x)=(10x-8)/x

Le facteur x est > 0 car x ≥ 0.5.

10x-8 > 0 ==> x > 0.8

x------>0.5................0.8.................15

f '(x)--->..........-..........0..........+...........

f (x)--->..........D..........?..........C..........?

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

f(0.5) ≈10.545 ( en milliers) ; f(0.8) ≈ 9.785 ( en milliers) et f(15) ≈ 128.336 ( en milliers) .

3)

a)

Sur [0.5;0.8] , la fct f(x) est continue et strictement décroissante et reste dans des valeurs < 90.

Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il n'existe pas de réel α tel que f(α)=90.

Sur [0.8;15]] , la fct f(x) est continue et strictement croissante passant de la valeur 9.785 pour x=0.8 à la valeur 128.336 pour x=15.

Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=90.

b)

La calculatrice donne : α ≈ 10.912

Car f(10.911) ≈ 89.992 et f(10.912) ≈ 90.001

Temps de 90 s pour 10912 personnes connectées.