Bonjour, besoin d'aide pour cette exercice :) Soit les fonctions f et g définies sur IR par : f(x) = [tex]-x^{3} + 4x^{2} - x^{} - 7[/tex] et g(x) = [tex]x^{2}

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

Je vais te faire les courbes avec le logiciel gratuit aussi Sine Qua Non.

Pour résoudre graphiquement f(x) < g(x) , on donne  les abscisses des points de Cf  sous la courbe Cg.

S=]-1.4;1.4[ U ]3;+∞[ , très approximativement.

Algébriquement :

-x³+4x²-x-7 < x²-3x-1 soit

x³-3x²-2x+ 6 > 0

Comme on a vu sur le graph , x=3 est solution de : x³-3x²-2x+6=0.

En effet :

3³-3*3²-2*3+6=27-27-6+6=0

On peut donc écrire :

x³-3x²-2x+6=(x-3)(ax²+bx+c) ==>on développe à droite et on arrive à la fin à:

x³-3x²-2x+6=ax³+x²(b-3a)+x(c-3b)-3c

Par identification entre gauche et droite :

a=1

b-3a=-3 ==>b-3=-3 ==>b=0

c-3b=-2 ==>c=-2

-3c=6 ==>c=6/-3=-2

Donc :

x³-3x²-2x+6=(x-3)(x²-2)

Donc résoudre :

x³-3x²-2x+6 > 0 revient à résoudre :

(x-3)(x²-2) > 0

On cherche les racines de (x-3)(x²-2) pour faire un tableau de signes.

x-3=0 OU x²-2=0

x=3 OU x²=2

x=3 OU x=-√2≈-1.14 OU x=√2≈1.41

x²-< 0 entre les racines car coeff de x² > 0.

Tableau :

x-------------->-∞...................-√2..................√2................3..................+∞

(x-3)---------->...........-........................-.....................-..........0........+..........

(x²-2)-------->...........+............0..........-............0........+...................+............

(x-3)(x²-2)-->..........-..............0.........+............0........-........0........+..........

Donc (x-3)(x²-2) > 0 , donc f(x) < g(x) pour x ∈ ]-√2;√2[ U ]3;+∞[