Soit f et g deux fonctions définies sur R par : f(x) = x(x + 2) - (2x - 1)(x + 2) et g(x) = (2x + 3)^2 - (x + 1)^2. 1) Développer f(x) et g(x). 2) Factoriser f(
Question
f(x) = x(x + 2) - (2x - 1)(x + 2) et
g(x) = (2x + 3)^2 - (x + 1)^2.
1) Développer f(x) et g(x).
2) Factoriser f(x) et g(x).
3) En utilisant l'écriture des fonctions qui est la plus pratique, calculer f(V3)et g(V5) en
valeur exacte.
4) De même façon résoudre, dans R, les équations suivantes :
a) f(x) = 2; b) g(x) = 0; c) f(x) = g(x)
Merci de m aider au plus vite svp
1 Réponse
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1. Réponse stellaphilippe2
Réponse :
Explications étape par étape
1/ f(x) = x ( x + 2 ) - ( 2x - 1 ) ( x + 2 )
⇔ f(x) = x² + 2x - ( 2x² + 4x - x - 2 )
⇔ f(x) = x² + 2x - 2x² - 4x + x + 2
⇔ f(x) = -x² - x + 2
g(x) = ( 2x + 3 )² - ( x + 1 )²
⇔ g(x) = 4x² + 12x + 9 - ( x² + 2x + 1 )
⇔ g(x) = 4x² + 12x + 9 - x² - 2x - 1
⇔ g(x) = 3x² + 10x + 8
2/ f(x) = x ( x + 2 ) - ( 2x - 1 ) ( x + 2 )
⇔ f(x) = ( x + 2 ) [ x - ( 2x - 1 ) ]
⇔ f(x) = ( x + 2 ) ( x - 2x + 1 )
⇔ f(x ) = ( x + 2 ) ( -x + 1 )
⇔ f(x) = - ( x + 2 ) ( x - 1 )
g(x) = ( 2x + 3 )² - ( x + 1 )² forme a² - b² identité remarquable
⇔ g(x) = [ ( 2x + 3 ) - ( x + 1 ) ] [ ( 2x + 3 ) + (x + 1 ) ]
⇔ g(x ) = ( 2x + 3 - x - 1 ) ( 2x + 3 + x + 1 )
⇔ g(x) = ( x + 2 ) ( 3x + 4 )
3/ f(√3) = - (√3)² - √3 + 2
⇔ f(√3) = -3 -√3 + 2
⇔ f(√3) = -√3 - 1
g(√5 ) = 3 (√5)² + 10 (√5) + 8
⇔ g(√5) = 3 * 5 + 10√5 + 8
⇔ g(√5) = 15 + 10√5 + 8
⇔ g(√5) = 10√5 + 23
4/ a/ f(x) = 2
-x² - x + 2 = 2
⇔ - x² - x = 0
⇔ x ( - x - 1 ) = 0
x = 0 ou - x - 1 = 0
⇔ - x = 1
⇔ x = -1
S ={ -1 , 0 }
b/ g(x) = ( x + 2 ) ( 3x + 4 )
( x + 2 ) ( 3x + 4 ) = 0
x + 2 = 0 ou 3x + 4 = 0
⇔ x = - 2 ⇔ 3x = -4
⇔x = -4/3
S = { -2 , - 4/3 }
c/ f(x) = g(x) permet de calculer les points d'intersection des 2 paraboles.
-x² - x + 2 = 3x² + 10x + 8
⇔ -4x² - 11x - 6 = 0
∆ = b² - 4ac = (-11)² - 4 · (-4) · (-6) = 121 - 96 = 25
Δ > 0
2 solutions réelles
x₁ = ( 11 - 5) / - 8 = 6 / -8 = - 0,75
x₂ = ( 11 + 5 ) / - 8 = 16 / - 8 = - 2
f(-2) = - ( -2)² - ( -2 ) + 2 = - 4 + 2 + 2 = 0
f( -0,75 ) = - (-0,75 )² - (-0,75 ) + 2
⇔ f( -0,75 ) = - 0,5625 + 0,75 + 2
⇔ f(-0,75 ) = 2,1875
Les points d'intersection sont:
( -2 ; 0 ) et ( -0,75 ; 2,1875 )
ou
Résolution par factorisation:
-4x² - 11x - 6 = 0
⇔ 4x² + 11 x + 6 = 0
factorisation avec produit somme
4x² + 8x + 3x + 6 = 0
⇔ 4x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) = 0
⇔ ( x + 2 ) ( 4 x + 3 ) = 0
x + 2 = 0 ou 4x + 3 = 0
⇔ x = -2 ⇔ x = -3/4 = - 0,75