Bonjour Voilà ma question svp​

Réponse :

Bonjour, je vais t'expliquer en détail comment faire avec le premier et tu te débrouilleras avec les suivants

Explications étape par étape

z=(2+2i)^6

On calcule d'abord le module r de z=2+2i par:

r=[tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex]=[tex]\sqrt{4+4}[/tex]=[tex]\sqrt{8}[/tex]=2[tex]\sqrt{2}[/tex]

On peut alors écrire:

z=(2[tex]\sqrt{2}[/tex]((1/[tex]\sqrt{2}[/tex])+(1/[tex]\sqrt{2}[/tex])i))^6

z=(2[tex]\sqrt{2}[/tex])^6(([tex]\sqrt{2}[/tex]/2+([tex]\sqrt{2}[/tex]/2)i)^6 car 1/[tex]\sqrt{2}[/tex]=[tex]\sqrt{2}[/tex]/2

donc on en déduis alors:

cos α=[tex]\sqrt{2}[/tex]/2 d'où α=π/4 (lecture du cercle trigonométrique)

sin α=[tex]\sqrt{2}[/tex]/2

On peut alors écrire:

z=(2√2)^6(cos(π/4)+isin(π/4))^6

Par la formule de Moivre (voir ton cours), nous pouvons écrire:

(cos (π/4)+isin(π/4)^6=cos (6×π/4)+isin(6×π/4)

(cos(π/4)+isin(π/4))^6=cos(3π/2)+isin(3π/2)

(cos(π/4)+isin(π/4))^6=-i

On peut alors écrire que:

z=(2[tex]\sqrt{2}[/tex])^6(-i)

z=64*8*(-i)

z=-512i

Voilà, tu suivras la même méthode et tu arriveras au bout sans soucis.