Bonsoir , merci d'avance. :) Montrer par récurrence que [tex]\forall \: n \in \N ~ , ~ n\geq 5 : {2}^{n} \geq 6n.[/tex] ​

Réponse :

[tex]\forall n \in \mathbb{N} ; n\geq 5 \quad 2^n \geq 6n[/tex]

Explications étape par étape

Soit n = 5 :

2⁵ = 32

6 x 5 = 30

L'inégalité est vraie quand n = 5.

Soit [tex]n \geq 5[/tex] supposons que [tex]2^n \geq 6n[/tex] et montrons que [tex]2^{n+1}\geq 6(n+1)[/tex] :

[tex]2^{n+1} = 2\times 2^n \\\\\\2^{n+1} \geq 2\times 6n \quad \text{par hypoth\`ese de r\'ecurrence}\\\\\\2^{n+1} \geq 12n[/tex]

Montrons que 12n > 6(n+1) :

n ≥ 5 ⇒ 12n ≥ 60

n ≥ 5 ⇒ 6(n+1) ≥ 6(5 + 1) = 36

On a bien 12n > 6(n+1)

Par conséquent :

[tex]2^{n+1} \geq 6(n+1)[/tex]

L'hypothèse de récurrence est validée.